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(M-13)   Logarithmes

Introduction

    Les Logarithmes sont un peu comme une passerelle entre algèbre élémentaire et mathématiques avancées. Comme pour l'ensemble de"From Stargazers to Starships," nous avons ici aussi évité le calcul différentiel, qui est pourtant souvent utile à la compréhension. Par ailleurs, ces sections sont des options, à consulter comme telles. Après la section 4, une étape supplémentaire vient naturellement -- juste avant l'introduction du nombre "e", et le lecteur peut s'arrêter là ou continuer. Il faut garder à l'esprit que ces sections sont écrites pour aider un maximum d'utilisateurs et que si des éléments vous semblent élémentaires ou répétitifs, survolez-les!

Aperçu général

    Le logarithme d'un nombre donné (son "log" en abrégé) est en liaison avec un autre nombre. Ce qui veut dire qu'il en est "fonction" Supposons que le nombre choisi soit "2". Les utilisateurs sont supposés déjà connaître certaines notions de base :

    Le nombre opposé, négatif (-2). C'est le nombre qui, ajouté à 2, le fait revenir à zéro

    L'inverse C'est le nombre qui, multiplié par 2, ramène à 1, pierre angulaire de toute multiplication.

    Le carré de 2 ou 2*2 = 4, c'est le nombre multiplié par lui-même.

A ces nombres, on peut maintenant ajouter:

    Le logarithme de 2 ou log 2 = 0,301029995 ...
    Ce nombre qui "n'en finit pas" (comme pour √2 = 1.41321..., la racine carrée de 2) ne peut pas être exprimé sous forme d'une fraction (entière ou décimale), qui, quelque part, "tombe juste". Par définition, sa propriété est:
2 = 100,3010299.. = 10log 2
Cela soulève plusieurs questions:
    --Comment déteminer une puissance de 2, qui ne soit pas un nombre entier ?
    --Comment calculer les logarithmes, par exemple
              un nombre comme log2 = 0,3010299 .. ?
    ---- Pourquoi les logarithmes sont-ils utiles et importants?
        Il faut se rappeler, par exemple, que la règle à calcul utilisées par les ingénieurs pour des multiplications rapides ou des divisions (de précision limitée, mais souvent suffisante) était fondée sur "les logs." Quel en était le principe ?

Exemple facultatif de calcul utilisant les logarithmes

Pour multiplier deux nombres A et B en utilisant les logarithmes (avant l'ère de la calculatrice):
    ---Chercher le logarithme de A et celui de B, dans des tables de logs.
    ---Les additionner
    ---Toujours avec les tables de "logs", repérer la valeur du logarithme qui correspond à cette somme.
              (Ou utiliser une table "anti-logs" où figure cette valeur :
              la table indique le nombre correspondant.)
    ---C'est la réponse.
    Cet exemple montre comment on faisait --il n'explique pas pourquoi cela fonctionne, ce qui sera vu plus tard. Les tables de logarithmes imprimées n'étant plus facilement disponibles, l'utilisateur de ce dossier a besoin d'une calculatrice électronique à main -- pas une qui seulement additionne, soustrait, multiplie et divise, mais une munie aussi de fonctions (comme "log"), qui sont l'équivalent des tables logarithmiques. Ces calculatrices doivent aussi posséder 10x ou yx; équivalent des tables "anti-logs", donnant la valeur d'origine lorsqu'on entre son logarithme. Pour l'équation yx on entre le nombre "y", on enfonce la touche, puis on entre le nombre "x", et "=" donne le résultat).

    Jusque vers 1970, ces calculatrices étaient inconnues. Des calculatrices mécaniques destinées aux 4 premières opérations -- actionnées à la manivelle ou, ultérieurement, par un moteur électrique -- furent un peu utilisées dès le début du 20ème siècle, mais étaient coûteuses, comme d'ailleurs leur réparation. Les caisses enregistreuses utilisaient des méthodes similaires. Cependant, le commun des mortels en restait aux méthodes papier - crayon apprises à l'école pour multiplier deux chiffres (même importants), ou les diviser.

    Cela donne des solutions très précises . Mais en fait une précision de 4 ou 5 décimales (ou autre) est suffisante pour les nombreuses applications des ingénieurs et les tables de logarithmes sont alors suffisamment précises et épargnent beaucoup de temps et d'efforts, en remplaçant simplement une multiplication par une addition--ou dans d'autres cas, une division par une soustraction . Pour les raisons décrites ci-dessous, seuls les logarithmes des nombres de 1 à 10 sont nécessaires, avec la partie fractionnelle du logarithme à droite de la virgule (la "mantisse"). La partie à gauche de la décimale (la "caractéristique") détermine la position de la virgule. Par exemple, si nous voulions (par le passé) multiplier 123,45 fois 98,765 , en utilisant les logarithmes, on repérait :

    log 123,45 = 2.091491
    log 98,765 = 1.994603
    addition 4.086094
On cherchait alors dans une table de logarithmes la valeur dont logarithme correspondait à la partie fractionnelle de cette somme, ici 0.084508 (une table d'"antilogarithmes," souvent jointe à celle des logarithmes, peut faciliter cette recherche). Avec une calculatrice (Bouton 10x)on obtient 1.21921328, un nombre compris entre 1 et 10
1.21921328
Le chiffre "4" placé au début indique maintenant que la virgule doit migrer de quatre rangs à droite, et finalement
(123.45).(98.765) = 12,192.53

Le résultat de la multiplication donne 12,192.54

Pour diviser 456,789 par 12,345, les logarithmes sont soustraits

    log 456 789 = 5.659716
    log 12 345   = 4.091491
    Soustraction 1.568224

    La partie fractionnelle de cette soustraction est .568224, qui correspond au logarithme de 3,700197. Le "1" placé en tête indique un déplacement de la virgule d'un cran à droite, donc :

456,789:12,345 = 37.00197

Le résultat de la division donne
37.00194

Ici la précision des logarithmes étaient de 6 chiffres, avec une exactitude analogue pour les résultats.

    La troisième utilisation des logarithmes est l'élévation d'un nombre à une puissance (nombre non nécessairement entier, un concept développé ci-dessous). Cela s'obtient en multipliant le logarithme de ce nombre par la valeur de cette puissance. . Si on veut :

(5,32067)3,811

On cherche le log:
log 5,32067 = 0,725966

Et en multipliant celui-ci par 3,811 soit en utilisant les logarithmes, soit de façon classique :

(3,811).(0,725966) = 2,766658

dont la partie fractionnelle est
0,766658 = log 5,843298

Et dont le "2" du début indique que la virgule doit être déplacé deux fois vers la droite, si bien que

(5,32067)3,811   =   584,3298

Comment vérifier ce résultat ? Et bien ... 5,32 est proche de 5, et 3,811 de 4, et ces deux nombres donnent 54 = 625, ce qui touche "au but." Le bouton yx de ma calculatrice donne 584,3293, mais ce résultat n'est pas étonnant puisque dans ce calcul la même calculatrice a été utilisée pour trouver les logarithmes et les "antilogarithmes" (le bouton 10x).

    Ainsi les logarithmes facilitent les calculs mathématiques complexes. Actuellement les calculatrices électroniques peuvent le faire avec un seul bouton (souvent en calculant les logarithmes à l'insu de l'utilisateur). Mais même de cette façon, le logarithme d'un nombre est régulièrement utilisé dans les calculs mathématiques et dans de nombreuses applications.

Quelques brèves remarques

(1)   1. La "base" des logarithmes

L'utilisateur attentif a probablement noté que la définition d'un logarithme, par exemple :

2 = 100.3010299...   =   10log 2

contient le nombre "10". Au sens strict, il s'agit de "logarithmes décimaux" ou "logarithmes en base 10," conçus pour la commodité des calculs avec des valeurs écrites dans le système décimal. Effectivement, les puristes indiquent la base par un indice, par exemple 0,3010299 ... = log102.

    D'autres " bases" peuvent être également choisies, dont l'une en particulier (" log naturel ") présente des avantages spécifiques. On le verra plus tard, lors des explications du nombre e = 2,71828 ....Mais ici, dorénavant, "log" indiquera toujours le logarithme de base 10.

(2)   ) Notation pour la multiplication et parenthèses

Ci dessous, un signe peut désigner une multiplication, de chiffres ou de symboles. Voici la convention utilisée dans pratiquement toutes les applications techniques, mais ce signe peut être omis si deux symboles voisins différent clairement:

    2x signifie 2 fois x
    ab           signifie a fois b
    abc         signifie a fois b fois c

Toutefois, s'il y a plus d'une interprétation possible (ou même seulement pour rendre les opérations plus claires) se rappeler TOUJOURS l'utilité des parenthèses ( ) ou des crochets [ ], pour signaler à l'utilisateur l'ordre correct. Ecrire :
3.4 + 5
est ambigu. Le plus souvent, on va multiplier le premier terme, puis faire l'addition et obtenir 17, mais si on fait d'abord l'addition on obtient 27. Avec les parenthèses l'ordre des opérations est clairement indiqué :

    (3.4) + 5 = 17
    3.(4 + 5) = 27

Parfois, l'ordre des opérations n'entraîne pas de différence, e.g. 3*4*5, mais il est toujours plus sûr d'écrire des parenthèses, même si elles ne sont pas absolument nécessaires. Les parenthèses peuvent aussi empêcher de confondre le signe de la multiplication avec celui de la virgule!

(3)   Calculatrices

    Comme on l'a déjà vu, le calcul des logarithmes peut être une entreprise fastidieuse. Jusque aux environs de 1970, les étudiants, ingénieurs, techniciens et scientifiques se servaient de "Tables de log" imprimées qui donnait les logarithmes des nombres de 1 à 10, à 4, 5 ou 6 décimales près (comme on le verra, les logarithmes des nombres supérieurs à 10 ou inférieurs à 1 en dépendent tout simplement). Pour obtenir une plus grande précision, ils avaient aussi appris à estimer les logarithmes des nombres intermédiaires à ceux qui étaient imprimés ("interpolation"). On peut encore trouver ces tables dans des manuels.

    Il y avait aussi des tables d' "antilogarithmes" : Pour un logarithme donné, le tableau renvoie au nombre 10x dont il est le logarithme. On pouvait aussi trouver cette valeur en recherchant dans les tables de logarithmes et en les interpolant, mais les antis logs faisaient gagner du temps.

    Les puces informatiques les ont rendus tout à fait obsolètes, et maintenant non seulement de peu coûteuses calculatrices à main ajoutent, soustraient, multiplient et divisent, mais calculent aussi les racines carrées, pour lesquelles des méthodes fastidieuses avaient été enseignées aux élèves, plus compliquées qu'une longue division. Ces calculatrices peuvent aussi calculer logarithmes et antilogarithmes (dans le bouton de la fonction 10x), ainsi que sinus et cosinus (pour lesquelles des tables imprimées avaient également été utilisées, également aussi fastidieuses). Elles peuvent même élever les puissances fractionnaire yx où y et x sont deux nombres positifs, entiers ou des fractions. (Il faut songer qu'alors l'ordinateur calcule d'abord les logarithmes puis les utilise).

    On admet ici que le lecteur de ces pages Web dispose d'une telle calculatrice.

(4)   Historique

    Les logarithmes établissent historiquement un pont entre l'algèbre "classique" de l'époque de Galilée (e.g. Niccolo Tartaglia, 1500-1557 et Gerolamo Cardano, 1501-76, qui résolut et rendit publique la solution de l'équation cubique), et le développement du calcul différentiel et intégral de Newton et Leibnitz dans la seconde moitié des années 1600.

    La première formulation des logarithmes date de 1614. Son auteur, John Napier, était un noble écossais s'intéressant aux mathématiques. Elle avait l'énorme intérêt de créer un outil d'aide au calcul, avec une approche quelque peu intuitive. Ses logarithmes étaient proches des "logarithmes naturels" définis plus tard, avec une légère différence due à sa méthode. Il publia un livre sur son travail (en Amérique), qui attira l'attention de Henry Briggs, professeur de mathématiques à Londres.

    En 1615, Briggs se rendit exprès en Écosse pour rencontrer Napier, et une solide amitié s'ensuivit. Ils se sont revus en 1616, mais malheureusement, Napier est décédé peu après.

    Briggs et Napier ont imaginé ensemble le système de logarithmes en base 10, avec log 1 = 0, tel qu'il est utilisé aujourd'hui. Briggs calcula plus tard les tables de logarithmes, et de racines carrées, avec une précision de 8 chiffres décimaux, et plus tard encore de14. Kepler a été un utilisateur fervent de cet outil nouvellement inventé, parce qu'il accélérait de beaucoup ses calculs, et il consacra en 1620 l'une de ses publications à Napier.
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Un Quizz rapide:

(1) Avec une calculatrice du type de celles décrites au point (3). Il vous est indiqué que le logarithme d'un nombre est 0,4. Comment trouver ce nombre lui-même ?

A. Trouver 100,4 = 2,511886 C'est le nombre que vous chercher, et d'ailleurs
log 2,51186 = 0,4

(2) Par la même méthode, vous constaterez que le logarithme de 5,62341 est 0,7 ,de même :

    log 56.2341 = 1,7
    log 562,341 = 2,7
    log 5623,41 = 3,7

Qu'en conclure?

A. Vous en concluez que la partie décimale du logarithme d'un nombre quelconque vous donne sa structure. La partie entière du nombre vous indique seulement où placer la virgule, comme ce sera vu plus tard.

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