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(M-14)   Puissance des Nombres

Elévation d'un nombre à une puissance qui est un nombre entier positif

La conception des logarithmes et celle de puissances des nombres sont liées. Si les propriétés des puissances vous sont familières, vous pouvez parcourir rapidement ce texte. Sinon - Eh bien, voila des détails. Les puissances d'un nombre quelconque sont obtenues en le multipliant par lui-même. Par exemple
.
2.2 peut s'écrire 22 "Deux au carré" ou "2 à la 2ème puissance"
2.2.2 = 23 ."Deux au cube" ou "2 à la 3e puissance"
2.2.2.2 = 24 "Deux à la 4e puissance" ou simplement "2 puissance 4 "
2.2.2.2.2 = 25 "Deux à la 5e puissance" ou simplement "2 puissance 5 "
2.2.2.2.2.2 = 26 "Deux à la 6e puissance" ou simplement "2 puissance 6 "
            Et ainsi de suite ...

    Le chiffre en indice est appelé "exposant." Les appellations spéciales de "carré" et de "cube" se justifient parce qu'un carré de côté 2 présente une aire de 22 et un cube de côté 2 un volume de 23. De même, un carré de 16,3 présente une surface(16,3)2 et un cube de côté 9,25 un volume de (9,25)3. Remarquez l'utilisation des parenthèses -- elles ne sont pas absolument nécessaires, mais elles contribuent à rendre clair ce qui est porté à la seconde ou à la 3e puissance.

Petit Quiz:
  1. Le grec Pythagore a démontré (environ 500 ans avant J.-C.) que si (a, b et c) sont les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, avec c la plus longue, alors a2 + b2 = c2 Dans un triangle rectangle, a = 12, b = 5. Pouvez-vous trouver c?

  2. Quel est le plus grand --23 ou 32?     27 ou 53?

  3. Une légère modification d'une vielle devinette :
      En allant vers St Gilles
      Je croisai un homme accompagné de sept filles
      Chacune portait sept cabas
      Dans chacun, sept chats
      Et pour chaque chats, sept chatons
      Chatons, chats, homme, filles : combien revenait de St Gilles ?
    Cela se calcule par les puissances de 7 :
      homme   -- 70 = 1
      filles 71 = 7
      cabas 72 = 49     (mais ils ne comptent pas)
      chats 73 = 343
      chatons 74 = 2401
                        Au total : 1 + 7 + 343 + 2401 = 2752
    A noter qu'il s'agit de la modification de la blague classique, qui demande " combien vont vers St Gilles ? La réponse est naturellement une seule personne, celle qui croise les autres. Beaucoup d'auditeurs sont influencés par les détails fournis, confondent et effectuent le calcul ci dessus. La réponse est dure- dure !
  4. Le célèbre mathématicien indien Ramajuan était hospitalisé (probablement pour tuberculose) et recevait la visite de son ami le mathématicien G.H. Hardy, qui l'avait déjà invité en Angleterre. Hardy raconta plus tard :
      Je me souviens l'avoir rencontré alors qu'il était malade à Putney. J'avais voyagé dans un taxi portant le numéro 1729. Pensant que ce numéro était plutôt banal, je n'y voyais aucun mauvais présage. "Non, me précisa-t-il : c'est un nombre très intéressant, c'est le plus petit nombre exprimant la somme de deux cubes de deux façons différentes"
    Les cubes sont des puissances trois. Quels sont-t-ils dans cet exemple ? Essayez, les choix sont limités.

Multiplication des puissances

Notez que
(23).(22) = 25

Puisque le premier terme mis à la puissance trois est 2 et que le terme mis au carré est également deux - cela fait au total 5 multiplications par 2. Cela est valable pour "2" ou pour un nombre quelconque . Donc, si ce chiffre est représenté par "X" cela fait :
(x3).(x2) = x5

Et de façon générale (puisque il n'y a rien dans 2 et 3 qui ne soit pas valable pour les autres nombres entiers) :
(xa).(xb) = x(a+b)
Avec a et b n'importe quel nombre entier.
    Les puissances des nombres entiers les plus largement utilisées, pour les utilisateurs du système décimal, sont bien sûr celles de 10

101 = 10 ("dix")
102 = 100 ("cent")
103 = 1000 ("mille")
104 = 10.000 ("dix mille")
105 = 100.000 ("cent mille")
106 = 1.000.000 ("un million")

    Notez que dans ces cas "l'indice de puissance" correspond aussi au nombre de zéros. Pour des nombres plus grands, il y a un certain temps qu'aux États-Unis 109 = 1.000.000.000 se dénommait "un billion" alors qu'en Europe, c'était un "milliard" et qu' il fallait avancer à 1012 pour atteindre le" billion ". Actuellement, la convention américaine gagne du terrain, mais le monde reste divisé puisque pour certaines nations la virgule est dévolue à ce qui est appelé "le point décimal", et que pour d'autres le point divise les grands nombres, e.g. 109 = 1.000.000.000 (Aux US ce seraient des virgules).

    Il convient également de noter que dans certaines cultures il y a d'autres noms pour d'autres puissances de 10 -- e.g. Les Grecs utilisé "myriade" pour 10.000, alors que la Bible hébraïque le nomme "r'vavah", et qu'en Inde "Lakh" signifie 100.000. En 1920 un enfant de 9 ans, a inventa le nom de "Googol" pour 10100, mais ce terme n'a trouvé que peu d'utilisation en dehors du nom d'un moteur de recherche sur le world-wide web.

Division de puissances entre elles

D'une manière très semblable à ce qui précède, nous pouvons écrire
(25) / (22) = 23
Car diviser une puissance de 2 par de plus petites puissances revient à annuler au numérateur un nombre de facteurs égal à celui du dénominateur. Ecrit dans le détail :

(2.2.2.2.2) / (2.2) = 2.2.2

Là encore, le chiffre porteur de la puissance n'est pas forcément 2 - il peut ici aussi, être désigné par x -- et les puissances n'ont pas besoin d'être 5 et 2, mais elle peut être deux nombres entiers, disons a et b:

(xa) / (xb) = x(a–b)

Mais c'est cependant une nouvelle étape qui est ici franchie, parce que d' une soustraction peut résulter zéro, ou même des chiffres négatifs. Avant d'aller plus loin, il faut définir le cadre général à suivre.

Extension de la signification du terme "Nombre"

    Aux difficiles débuts de l'humanité, "nombre" ne désignait simplement que des nombres entiers positifs ("nombres entiers"): une pomme, deux pommes, trois pommes ...

Les fractions simples ont ensuite été utilisées -- 1/2, 1/3 et ainsi de suite.

Puis le zero a été ajouté, originaire de l'Inde.

Ensuite, les nombres négatifs ont reçu leur statut - à la place de considérer la soustraction comme une opération, elle a été ré- interprétée comme l' addition d'un nombre négatif.

    De même, à tout entier x correspondait un nombre "inverse" (1/x) (les calculatrices ont souvent aussi une touche 1 / X). Dans l'Égypte antique, il y a 5000 ans, c'étaient les seules fractions connues, et elles sont donc encore parfois appelées"fractions égyptiennes." Quand un Egyptien de ce temps voulait dire 3 / 4, il l'exprimait comme (1 / 2 + 1 / 4). Parfois, de longues expressions étaient nécessaires, e.g

99/100 = 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/25
Mais ça marchait quand même.

    Les anciens Grecs sont allés plus loin et ont défini comme "nombre rationnel" (ou " nombres logiques" -- "rationnel" vient du latin) tout nombre multiple d'un inverse, par exemple 4 / 13, 22 / 7 ou 355/113. Les nombres rationnels sont denses : mais aussi proches soient-ils, on peut toujours y intercaler un autre nombre rationnel -- par exemple, la moitié de leur somme, un choix parmi tant d'autres. Les fractions décimales qui finissent par se terminer à une certaine longueur sont aussi des nombres rationnels, et même aussi les fractions décimales qui comportent des modes répétitifs (0,33333 .., 0,575757..)

    Les philosophes- mathématiciens grecs ont donc été surpris de constater qu'en dépit de cette densité, certains chiffres ne pouvaient pas être représentés par un nombre rationnel et "se cachaient" encore entre les rationnels. C'est le cas par exemple de √2 , dont le carré égale 2. La plupart des racines carrées et des solutions des équations sont aussi de ce type, et également π, , le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre (représenté par la lettre grecque "pi"). Pi est bien évalué avec 22 / 7 et encore mieux avec 355/113, mais sa valeur exacte ne peut jamais s'exprimer par une fraction. Les mathématiciens rangent tous ces types de nombres précédemment vus dans la catégorie unique des "chiffres réels ".

Les logarithmes des nombres positifs sont aussi des nombres réels. Quand on écrit :

2 = 100,3010299.. puisque 0,3010299.. = log 2

(Les points signifient une suite irrégulière), on voit que 10 est élevé à une puissance qui est un nombre réel. Dans un premier temps, les puissances n' étaient que des entiers, indiquant le nombre de fois où un nombre quelconque a été multiplié par lui-même. Pour que ces expressions soient compréhensives, il faut donc généraliser leur concept à la possibilité d'élever un nombre à n'importe quelle puissance du moment que l'exposant est un nombre réel quelconque .

Logarithmes des puissances de 10

Ce sont tous des nombres entiers :
    101 = 10 et donc log 10 = 1
    102 = 100 et donc log 100 = 2
    103 = 1000 et donc log 1000 = 3
    104 = 10.000 et donc log10.000 = 4
    105 = 100.000 et donc log 1000.000 = 5
    106 = 1.000.000 et donc log 1.000.000 = 6

Ces logarithmes satisfont aussi aux règles que nous avons indiqué :

(xa).(xb) = x(a+b)

Donc, avec x=10
        U = (10a)         V = (10b)         W = (10(a+b)) = U.V
Alors, puisque
        a = log U     b = logV     (a+b) = log W
Nous avons
        logV + log U = log (U.V)

    Cette relation est valable chaque fois que U et V sont des puissances de 10 :

    le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes
    de chacun des nombres multipliés.

                    comme on l'a montré dans l'aperçu de la section précédente.

    Avec la conception élargie du concept de logarithme cette propriété demeure , et c'est cette originalité des logarithmes qui les rendent utiles, du fait de pouvoir remplacer les multiplications par des additions. Au lieu d'avoir à multiplier U et V, il suffit d'additionner leurs logarithmes et de rechercher le logarithme dont la valeur égale à cette somme: ce sera le produit (U.V).

De même,
        (xa) / (xb) = x(a–b)
aussi si x=10,
        U = (10a)         V = (10b)         W = (10(a–b))  =  U/V

Alors dans la division nous avons :
logV – log U = log (U/V)

"Le logarithme du quotient résulte de la différence entre les logarithmes des nombres divisés". E.g. 107 / 104 = 103 qui correspond à 7 – 4 = 3. La division ouvre cependant de nouvelles perspectives : avec la même règle, on trouve par exemple

        1040 / 1043 = 10–3 = 0.001
Et
        104 / 104 = 100 = 1

puisque qu'un nombre divisé par lui-même est égal à 1. De fait, cela est cohérent avec la règle, additionner ou soustraire 1 d'un logarithme déplace sa première décimale de droite à gauche. On a vu :
    106 = 1.000.000 donc log 1.000.000 = 6
    105 = 100.000 donc log 100.000 = 5
    104 = 10.000 donc log10.000 = 4
    103 = 1000 donc log 1000 = 3
    102 = 100 donc log 100 = 2
    101 = 10 donc log 10 = 1

Et maintenant cette liste peut être prolongée, en divisant par 10 à chaque étape
    100 = 1 donc log 1 = 0
    10–1 = 0.1 donc log 0.1 = –1
    10–2 = 0.01 donc log 0.01 = –2
    10–3 = 0.001 donc log 0.001 = –3
    10– 4 = 0.000 1 donc log = 0.000 1 = –4
    10–5 = 0.000 01 donc log 0.000 01  = –5
    10–6 = 0.000 001 donc log 0.000 001 = –6

Ce qui précède démontre une autre propriété des logarithmes: Log (VQ) = Q log V Dans le cas précis où V = 10, logV = 1  

Notation scientifique

    Les quantités que manipulent les scientifiques sont parfois très petites ou très grandes. Il est alors plus facile (pour le calcul, ou pour l'application des logarithmes), de les scinder en deux d'une part par un nombre de 1 à 10, qui donne sa structure, d'autre part par une puissance de 10, qui en donne l'amplitude.

    Une charge électrique, par exemple, est mesurée en coulombs: par seconde, à peu près un coulomb passe dans une ampoule de 100 watts. Ce courant est transporté par un torrent de minuscules particules négatives, présentes dans tous les atomes et appelées "électrons". Chaque électron porte une charge de

q = 1,60219 10–19 coulomb

    S'il fallait écrire ce chiffre en fraction décimale, l'expression prendrait environ la moitié d'une ligne, avec 18 zéros après la virgule et devant les chiffres significatifs. De même, la masse de l'électron est très petite :
m = 9,1095 10–29 kg

La notation scientifique simplifie l'écriture de ces chiffres. Encore un autre exemple, la vitesse de la lumière est

c = 2,99792 108 mètres / seconde

    La notation scientifique permet ainsi des multiplications et des divisions plus faciles et moins sujettes aux erreurs. On divise ou multiplie séparément les facteurs numériques, chacun entre 1 et 10, et, en général, il suffit d'un coup d'il pour voir si le résultat est d'un ordre de grandeur " dans la course ". Séparément, on ajoute l'ensemble des indices de puissance des facteurs multipliés, et soustraie ceux de la division, pour obtenir la puissance de 10 appropriée, qui apparaît alors dans la notation scientifique.

    Bien sûr, il faut utiliser des unités cohérentes --dans tous les calculs -- il ne faut pas mélanger mètres et pouces ou livres et grammes (Cette utilisation incompatible a apparemment conduit à une erreur qui a provoqué la perte d'un sonde spatiale vers Mars, ensuite détruite). Le système cohérent le plus employé en physique et en technologie est le système MKS, qui mesure la distance en mètres, la masse en kilogrammes et le temps en secondes. Toutes les autres unités dépendent de ces trois normes, et tant que l'on reste dans le système MKS, les résultats sont ainsi conformes aux unités de ce système (eg si le calcul porte sur l'énergie, il sort toujours en
joules).

Un exemple :

    Les électrons des aurores polaires ("aurores boréales") se déplacent à environ 1/5 de la vitesse de la lumière, dans un champ magnétique B, qui vaut environ 5 10–5 Tesla à proximité du sol (le Tesla est l'unité MKS de champ magnétique: on obtient environ 1 Tesla au pôle d'un aimant de fer ). Le champ magnétique provoque un mouvement en spirale de l'électron autour de la direction de la force magnétique ("ligne de champ magnétique") avec un rayon de

r = mv/(qB)

Où v est la part de vitesse perpendiculaire à la direction de B. Si v - la composante perpendiculaire à B -- vaut la moitié de la vitesse totale, que vaut r ?

Nous avons
            m = 9,1095 10–29 Kg
            v = 2,99791 107 m/sec (= 0.1 c)
            q = 1.60219 10–19 coulomb
            B = 5 10–5 Tesla

    Assemblons tous les facteurs numériques, arrondis à la 3ème décimale (9.11).(3.00)/[(1.6).(5)] = 3,42 Faisons de même avec tous les exposants (– 29+7) – (–19 – 5) = (– 22) – (– 24) = +2 Le rayon est donc de 3,42 102 mètres soit 342 mètres. C'est compatible avec une très fine aurore boréale, vue du sol. En considérant que le territoire d'observation d'une aurore est généralement situé à 100km de celle-ci, ce rayon est véritablement très petit.

Auteur et le Conservateur:   Dr. David P. Stern
     Mail au Dr.Stern:   stargaze("at" symbol)phy6.org .

Mise à jour 9 Novembre 2007
Traduction française : Guy Batteur ( guybatteur arobase wanadoo.fr )

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