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(M-17)     Le nombre "e"

    Voici une extension facultative des sections sur les logarithmes. Au premier abord, elle semble ne rien à voir avec eux - On y parle des intérêts de l'argent versé dans une banque, en commençant par un débat très élémentaire sur les intérêts bancaires : ceux qui connaissent ce sujet peuvent parcourir rapidement cette partie. Rassurez vous cependant - le rapport avec les logarithmes apparaît assez vite !

Intérêts bancaires -- Aperçu très élémentaire

    Presque tous connaissent l'intérêt, le montant supplémentaire que doivent les emprunteurs qui utilisent temporairement l'argent des autres.

    Si vous voulez acheter un article coûteux -- voiture, maison, entreprise, machine agricole --, mais que vous ne pouvez pas immédiatement payer la totalité du prix, vous emprunterez ce qu'il vous manque auprès d'une banque, et la rembourserez peu à peu, en ajoutant un peu d'intérêt à l'emprunt, en contrepartie du service rendu.

    L'intérêt est traditionnellement évalué en pourcentage, centièmes de la somme empruntée, également désigné par le symbole %. Si le taux d'intérêt est, disons, 10 dollars par an pour chaque tranche de 100 dollars empruntés, votre intérêt est "10 pour cent" ou de 10% ("pour cent", "pour chaque cent").

    En général les banques ne prêtent qu'une partie du coût de l'objet acheté -- car alors, si l'emprunteur n'est pas en mesure de payer ("par défaillance"), ils prennent légalement "possession" de celui ci, tout en ayant payé qu'une partie seulement de son coût. Elles ne subissent aucune perte !

    Parce qu'une "mise de fond " est généralement nécessaire pour emprunter, il faut l' épargner pour la régler et pour réaliser cette économie, les gens placent souvent leur argent auprès d'une banque. La banque paiera un moindre taux d'intérêt - par exemple, seulement 6% -- tout en utilisant ce même argent pour le prêter à des taux plus élevé, comme 10%. De cette façon, la banque réalise un bénéfice et couvre ses propres frais, mais il vaut mieux prêter de l'argent à un taux inférieur et réaliser un bénéfice de 6 $ pour chaque 100 $ -- que de ne pas faire de bénéfice du tout.

Intérêts simples et intérêts composés

(Ci-dessous, après le marquage ***, il est souhaitable d'utiliser une calculatrice avec un bouton yx )

    On suppose que vous prêtiez à la banque 1000 $ à 6% d'intérêt. Le montant que vous apportez est appelé "le capital."

Après un an vous avez acquis 60 $ et vous possédez maintenant 1060 $
Après 2 ans, vous avez acquis encore une somme de 60 $ et vous possédez maintenant 1120 $
Après 3 ans, vous avez acquis une autre somme de 60 $ et vous possédez maintenant $ 1180
Après 4 ans, vous avez acquis une autre somme de 60 $ et vous possédez maintenant 1240 $

    (Pour acquérir un objet onéreux il faut bien sur souvent économiser plus de 1000 $ chaque année et accumuler beaucoup plus rapidement des liquidités. Mais ici, dans ce calcul, nous ne considérerons qu'uniquement les premiers 1000 $ ).

    Il y a tout à fait moyen de mieux se débrouiller! Les 60 $ de la première année peuvent être ajoutés au "capital" de base, de sorte que dès la seconde année, ils augmentent aussi les intérêts. En fait, pour chaque année, vous pouvez ajouter les bénéfices au capital, et gagner plus.

    Cela modifie les règles. Précédemment, ce que vous gagniez en un an valait 60 $, six pour cent du montant initialement investi. C'est que l'on appelle "l'intérêt simple." Le montant obtenu en fin d'année n'est que de 60 $ de plus.

    Mais avec cette formule, le montant obtenu en fin d'année (en supposant que n'y touchiez pas !) est 1,06 fois ce que vous aviez en début d'année. C'est ce qu'on appelle l'intérêt composé , calculé à la fin de chaque année, calculons le donc. Supposons que vous avez commencé avec x dollars. Avec l'intérêt simple

Après 1 an          1,06 x
Après 2 ans         1,12 x
Après 3 ans         1,18 x
Après 4 ans         1,24 x

Avec l'intérêt composé, comme décrit ci-dessus, avec une précision de 4 décimales :

  Après un an vous avez   1,06 x
  Après une autre année   1,06 [1,06 x] = (1,06)2 x = 1,1236 x
  Après 3 ans   1,06 [(1,06)2 x] = (1,06)3 x = 1,191 x
  Après 4 ans   1,06 [(1,06)3 x] = (1,06)4 x = 1,2624 x

Donc, effectivement, vous augmentez vos bénéfices, mais de façon plutôt modérée.

    Vous pouvez faire encore mieux si vous ajoutez les intérêts perçus sur le capital non pas pas à la fin de chaque année, mais à la fin de chaque semestre (demie année). Les intérêts perçus chaque semestre passent à 3%, mais le nombre de "périodes de composition" est doublé -- deux par semestre -- Voyons ce que vous obtenez à partir d'un montant initial de x de dollars (calculé avec une précision de 5 décimales)

Après un semestre 1,03 x
Après 1 an 1,03 [1,03 x] = (1,03)2 x = 1,10609 x
Après 1,5 années 1,03 [(1,03)2x] = (1,03)3 x = 1,10927 x
Après 2 ans 1,03 [(1,03)3 x] = (1,03)4 x = 1.12551 x
Après 3 ans (1,03)6x = 1,19405 x
Après 4 ans (1,03)8x = 1,26677 x

Et ainsi de suite.

    Mais pourquoi attendre six mois? On peut tout aussi bien ajouter mensuellement , le montant, en supposant ici que tous les mois sont égaux et que chacun rapporte 0,5% d'intérêt. (*** Il vaut mieux avoir un bouton yx pour les prochaines étapes, mais on peut s'en passer à condition d'avoir beaucoup de patience ! Les résultats sont donnés avec une précision de 6 décimales.)

Après 1 an  --12 périodes, 0.5% chacune -- vous avez (1,005)12 x = 1,061678 x
Après 2 ans --24 périodes, 0.5% chacune -- vous avez (1,005)24 x = 1,127159 x
Après 3 ans -- 36 périodes, 0.5% chacune -- vous avez (1,005)36 x = 1,196680 x
Après 4 ans -- 48 périodes, 0.5% chacune -- vous avez (1,005)48 x = 1,279489 x

Il est intéressant de comparer les montants totaux après 4 ans, par exemple:

Intérêt simple 1,24 x
Composé, par an 1,2624 x
Composé deux fois par an 1,26677 x
Composé 12 fois par an 1,278489 x

    Eh, oui, vous gagnez de plus en plus. Cela pourrait être encore mieux avec des intérêts journaliers (comme certaines banques l'ont malicieusement fait miroiter), mais le montant semble se stabiliser vers une limite, qui ne peut jamais être dépassée. Vous ne deviendrait jamais riche de cette façon!

Nous allons essayer maintenant de calculer cette limite. Prêt à quelque algèbre ?

Le Plafond

Supposons que vous placiez x dollars, à un pourcentage de p pour cent (6 dans l'exemple ci-dessus). Après un an, nous avons
(1 + p/100) x                

Divisons l'année en N parties égales, chacune d'elles participe à l'intérêt dans la proportion de p / N. Après chaque période, l'argent investi augmente d'un facteur

[1 + p/(100 N)]                 (1)

Il y a N périodes dans l'année, et donc après un an, l'investissement a augmenté d'un facteur

F = [1 + p/(100 N)]N                 (2)

Diviser une puissance N par un nombre puis la multiplier ailleurs du même nombre ne change rien -- c'est comme multiplier par (Q / Q) = 1 (quel que soit la valeur de Q ) Donc en prenant Q = p/100

F = [1 + p/(100 N)][(100N/p) (p/100)]                 (3)

Si vous annulez les fractions, vous revenez au point de départ. A la place, nous introduisons une nouvelle quantité variable y: soit

        100N/p = y                         (4)
Alors
        F = (1 + 1/y)(y.p/100)                 (5)

Sachant qu'élever une puissance à une autre, revient à élever à une puissance équivalente au produit des deux exposants
            F = [(1 + 1/y)y](p/100)                (6)

Pourquoi passer par toutes ces substitutions ? c'est pour parvenir à une expression assez surprenante:
                  [(1 + 1/y)y]                           (7)

Où, comme nous l'avons défini
y = N (p/100)

    Si l'intérêt est composé chaque seconde de l'année, N est un peu au dessus de 31 millions. Supposons que N, le nombre de périodes où l'intérêt est composé, croît sans limite, et donc, par conséquent, y . Cela fait de (7) une expression plutôt singulière

    D'une part, l'expression que nous élevons à la yth puissance est (1 + 1 / y), très proche de 1, et nous savons que toute puissance de 1 quel que soit le nombre de fois que vous multiplier 1 par lui-même. Mais d'autre part, l'élévation des puissances de tout nombre supérieur à 1 (même très légèrement) conduit à une augmentation sans limite.

    Duquel de ces deux cas s'agit-il ? Prenons une calculatrice munie des touches (1 / x) et x2. On peut alors facilement calculer l'expression (7) pour les valeurs de y qui sont des puissances de 2:

(1 + 1/2) 2 = 2,25
    (Entrez 0,5, ajouter 1, enfoncez la touche " au carré ")
(1 + 1/4) 4 = 2,441406...
    (Entrez 0,5, enfoncez la touche " au carré " ajouter 1, enfoncez deux fois la touche x
(1 + 1/16) 16 = 2,6379284...
    (Entrez 0,5, enfoncez la touche " au carré " ajouter 1, enfoncez quatre fois la touche x )
(1 + 1/256) 256 = 2,7129916...
    (Entrez 0,5, enfoncez 3 fois la touche " au carré ", ajouter 1, enfoncez huit fois la touche x, since 256 = 28)
(1+ 1/65536) 65536 = 2,71826039...       
    (Entrez 0,5, enfoncez 4 fois la touche " au carré ", ajouter 1, enfoncez seize fois la touche x, puisque 65536 = 216)

    Vous pouvez constater que le résultat approche une limite qui n'est ni zéro, ni l'infini, mais un nombre compris entre 2 et 3. Les mathématiciens notent ce nombre par la lettre e. Et la limite, où l'intérêt avec un pourcentage p plafonne, quelle que soit le nombre de compositions réalisés, est, par (6)
e(p/100)             (8)

    Les phénomènes au sein de la nature -- par exemple, le nombre de bactéries (ou d'autres créatures vivantes), compte tenu de l'offre illimitée de la nourriture, ou le nombre de nombre de neutrons dans une réaction en chaîne non contrôlée ---connaissent une "croissance exponentielle" suivant une loi comparable à celle mentionnée ci-dessus.

    De nombreuses propriétés de e impliquent des calculs, ou une définition élargie des nombres y compris la racine carrée de (–1), aussi notée i. Par exemple, si le symbole N! ("Factorielle de N") définit le produit des nombres entiers jusqu'à N

1! = 1       2! = 1.2 = 2      3! = 1.2.3 = 6       4! = 24       5! = 120    etc.

Il peut être démontré que, avec cette suite :

e = 1 + 1/(1!) + 1/(2!) + 1/(3!) + 1/(4!) + 1/(5!) + ...

Et comme N! croît très rapidement avec l'accroissement des valeurs de N, on obtient assez vite des valeurs précises de e. De plus, le nombre e est aussi "la base des logarithmes naturels." C'est d'ailleurs le sujet de la section suivante.

En savoir plus

Vous avez vu que
(1 + 1/y)y

tends vers la limite e = 2,71828... quand y devient de plus en plus grand, qu'en est-il de

(1 – 1/y)y

--Atteint-il aussi une limite? Eh, oui. . Calculez le avec votre calculatrice, par approximations, comme cela a été fait avec e. Si votre calculatrice a une touche inversant le signe "+/–" vous pouvez utiliser les mêmes étapes que précédemment, sauf qu'avant d'ajouter "1", il faut inverser le signe de la puissance de 0,5 avec ce bouton.

    Ensuite, une question est évidente -- comment cette limite est-elle en relation avec "e"? Essayez de le découvrir de vous même!

Auteur and Conservateur:   Dr. David P. Stern
     Mail au Dr.Stern:   stargaze("at" symbol)phy6.org .

Mise à jour 10 Octobre 2007

Traduction française : Guy Batteur ( guybatteur arobase wanadoo.fr )

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